Chip 1996 April/CHIP 1996 aprilis (CD06).zip/CHIP_CD06.ISO/hypertxt.arj/9302/SZIMU4.CD

Text File | 1995-04-18 | 17KB | 334 lines

          @VNövekedés, de meddig?@N

          @VSzimuláció -- 4. rész@N

          Sorozatunk   elôzô   részeiben   egy   egyszerû  demográfiai
          modellbôl   kiindulva   játékokat  készítettünk  néhány  faj
          együttélésére       (rókák-nyulak,       farkasok-bárányok).
          Vizsgálataink  egy  általánosabb  érvényû  kérdésfeltevéshez
          vezettek:  a  születés  és  halál  örök  versengésében mi az
          egyensúly   feltétele,   azaz   az   élet   fennmaradásának,
          fejlôdésének mi a biztosítéka, esélye.


          A   továbbiakban   erre   a   kérdésre   keresünk   választ,
          meglehetôsen  elvont,  de  éppen ezért általánosításra jogot
          adó modellek segítségével.


           @VAbsztrakt játszmák@N

          A  két  ""játékos"  (a születés és a pusztulás) -- egymástól
          függetlenül  --  választhat  konform  (S+),  semleges  (S0),
          illetve  kontra  (S-)  stratégiát.  Emlékeztetôül: ez annyit
          tesz,  hogy  a  keletkezés  (elmúlás) mértékének változása a
          népesság  számának  alakulásával  egyezô  elôjelû, független
          tôle,  vagy  ellentétes tendenciájú. Az így létrejövô kilenc
          lehetséges   alapváltozat  közül  vizsgálunk  meg  néhányat,
          változatlanul Eigen professzor könyvét tekintve alapul.

          A  játéktér (""a világ"), ha lehet még tovább egyszerûsödik:
          egy    @KNxN@N-es    táblán    @K(V(N,N))@N   megjelenô   @KX@N   és   @KO@N
          betûk  jelölik  az  egyes  fajokat,  s  számuknak  az  egyes
          esetekben   mûködô   szabályok  szerinti  alakulása  lesz  a
          ""történelem".


           @VS0/S0 játszma@N

          A  jelen  esetben  elemzendô stratégiák szerint a születések
          és  halálozások  gyakorisága  állandó,  független az egyedek
          számától.      Ezt     megvalósítja     (egyenlô,     0,5-es
          valószínûséggel)  az  alábbi  algoritmus,  melyben felettébb
          egyszerûen,    fej    vagy   írás   jelleggel   cserélgetjük
          táblázatunkban az egyik betût a másikra.

          Szimu-lépés-S0-S0;
              Ha RND<0.5 akkor
                  Egy véletlen X cseréje O-ra
              különben
                  Egy Véletlen O cseréje X-re
          Eljárás vége;

          Az  algoritmust  programmá  alakítva,  s  ha  sikerül el nem
          aludnunk   a   kétségtelenül   monoton,   véget   nem    érô
          betûcseréket  szemlélve,  egészen  érdekes   megfigyeléseket
          tehetünk.

          Kezdetben  a  két  faj  népessége  a kiindulási adatok körül
          ingadozik.  Kellôen  hosszú  futás  után  azonban, lassan de
          biztosan  elkezd  vándorolni  (vagy  inkább  imbolyogni)  az
          arány. Ha programunkat kiegészítjük egy olyan résszel,  mely
          számlálja   az   egyes   eloszlások   gyakoriságát,    akkor
          láthatjuk, hogy a kiindulási eloszlástól függetlenül  minden
          értékpár közel azonos  mértékben fordul elô,  azaz egyenlôen
          valószínûek. (Türelemre azért szükség lesz!)

          Teljes joggal  nevezhettük tehát  ezt a  játszmát múlt  havi
          számunkban egy végállapot  nélküli, KÖZÖMBÖS játszmának.  Ha
          az algoritmus, vagy  a futási eredmény  valakinek ismerôsnek
          tûnik, az nem  véletlen: az úgynevezett  bolyongási probléma
          egy speciális esetével állunk szemben.

          Az egydimenziós  változat Marx  György megfogalmazásában  az
          alábbi: egy kikötôi móló közepén álló lámpaoszlopot  támogat
          a  részeg  tengerész.   Ållapotából  következôen esetlegesen
          lép hol jobbra, hol balra.   Kérdés, hogy N lépéssel  milyen
          messzire  jut  a  lámpaoszloptól?  Vagy másképpen: balra tíz
          lépésre a tenger, jobbra  tíz lépésre az enyhet  adó kocsma.
          Mi lesz a végállomás?

          Kicsit  komolyabb  formában  is  felvethetô  a  kérdés   két
          dimenzióban (esetleg  háromban). A  sík (tér)  egy pontjában
          található  egy  gázmolekula-forrás,  mondjuk egy illatszeres
          üveg. A belôle  kilépô molekulák véletlenszerûen  mozognak a
          tér  minden  irányába.  Kérdés,  hogy  T  idô elteltével hol
          érezhetô  az  illat?  De  érdemes  csak  egyetlen   molekula
          pályáját  is  követni,  kirajzoltatni  -- így a Brown-mozgás
          jelenségét tudjuk modellezni.


                               @VS-/S+ játszma@N

          Olyan  modellt  kell  megvalósítanunk,  melyben  a  vizsgált
          populáció  létszámának  növekedtével  csökken  a  szaporodás
          esélye,  de  nô  a  halálozásé.  Ezt úgy fogjuk biztosítani,
          hogy az  X és  O betûkkel  telített táblán  kisorsolt helyen
          lévô  betût  az  ""ellenfélre"  cseréljük.  (Például X-ekkel
          zsúfolt  táblán  nagyobb  eséllyel  választunk X-et, s ezzel
          rögtön ki  is pusztítjuk,  mivel O-ra  cseréljük, miáltal  a
          kisebb egyedszámú  fajt ""szaporítottuk"  is egyben).  Tehát
          az algoritmus:

          Szimu-lépés-S-S+;
              (I,J) := Véletlenhely(N,N);
              Ha V(I,J) = "X" akkor
                  V(I,J) := "O"
              különben
                  V(I,J) := "X"
          Eljárás vége;

          Programunkat   többször,   különbözô    jellegû   --    akár
          szélsôséges --  kezdeti eloszlásokkal  futtatva az  eredmény
          mindig azonos.   Hoszabb-rövidebb idô  (a kezdés  jellegétôl
          függôen) alatt  beáll egy  dinamikus egyensúly  (lásd az  1.
          ábrát).

          @@<egys.pcx>

          Ettôl  kezdve  már  túl  nagy meglepetésre nem számíthatunk,
          bármeddig is fut a programunk. (Érdemes végigszámolni,  hogy
          mondjuk  egy  8x8-as  táblát  32-32  ""X"  és  ""O"  betûvel
          indítva, mi a  valószínûsége a 64  ""X" megjelenésének!   Ez
          az  érték  kisebb,  mint  10   a  -19-diken!)  Ha  most   is
          elkészítjük  az  eloszlásokat  számláló  kiegészítést, akkor
          láthatjuk,  hogy  a  gyakoriságok  a Gauss-féle haranggörbét
          követik.   (A  2.  ábra  egy  száz  betûs  tábla  eloszlását
          mutatja 100 ezer lépés után.)

          @@<gauss.pcx>

          Tehát a játszmának  van egy egyértelmû,  STABIL végállapota,
          a  rendszer  EGYENSùLYba  kerül,  a  kiindulási   helyzettôl
          függetlenül. Ezt  az algoritmust  is láttuk  már: sorozatunk
          bevezetô részében ismertettük az Ehrenfest-féle  urnamodellt
          (a  bolhás  kutyák  esete).


                               @VS+/S- játszma@N

          Itt  a  születés  esélye  nô  az  elemszám gyarapodásával, a
          halálozásé pedig csökken. E szabályok megvalósítása  hasonló
          lesz  az  elôzôkben  leírtakhoz:  a  táblázatból  egy helyet
          kisorsolva   az   ott   talált   betût   duplázzuk  meg  egy
          tetszôleges helyen  található ""ellenség"  rovására. (Tessék
          végiggondolni,   hogy   ez   a   szabály   eleget   tesz   a
          feltételeknek!) Algoritmusban:

          Szimu-lépés-S+S-;
              (I,J) := Véletlenhely(N,N);
              Ha V(I,J) = "O" akkor
                  Egy véletlen X cseréje O-ra
              különben
                  Egy Véletlen O cseréje X-re
          Eljárás vége;

          Ez  a  program  nagyon  hamar  véget  ér.  Még  akkor is, ha
          kezdôállapotként hajszálpontosan kiegyenlített állást  adunk
          meg  (például  10x10-es  táblán  50--50  ""X"  és  ""O").  A
          kezdetben kialakuló kis eltérések pillanatok alatt  óriásivá
          válnak,  s  a  program  valamelyik  faj  kipusztulásával (és
          értelemszerûen a másik egyeduralkodóvá válásával) véget  ér.
          A  kezdeti   (beállított)  egyensúly   tehát  egy   INSTABIL
          állapot, a játszma KATASZTRòFÅba torkollik (3. ábra).

          @@<kata.pcx>

          Hogy  melyik   faj  válik   ""áldozattá",  elôre   meg   nem
          jósolható, a két végállapot egyenlôen valószínû. A  folyamat
          megint nem ismeretlen, hiszen végeredményben  láncreakcióról
          van  szó:  a  235-ös   tömegszámú  uránizotóp  egy   neutron
          befogásával  két  közepes  súlyú  magra  hasad és 2-3 szabad
          neutron keletkezik, melyek további uránmagokat hasítanak,  s
          így tovább.


                               @VS+/S+ játszma@N

          Itt  a  születés  és  a  halálozás  esélye  is nô a népesség
          szaporodtával.  Ennek  modellezése  sem  nehéz:  a kisorsolt
          mezôn lévô betût töröljük  le, majd másoljunk a  helyére egy
          másik  véletlen  helyen  található  betût.  Ezzel a halál és
          keletkezés konform voltát biztosítottuk. Tehát:

          Szimu-lépés-S+S+;
              (I,J) := Véletlenhely (N,N);
              Ciklus
                  (K,L) := Véletlenhely(N,N);
              amíg K<>I és J<>L
              Ciklus vége
              V(I,J) := V(K,L);
          Eljárás vége;

          Itt  már  jelentôsége  van  a  kiindulási állapotnak, de még
          inkább  a  születés  és  halál  valószínûsége bármilyen apró
          változásának. (Érdemes kipróbálni!)  Az eredmény ezektôl  az
          adatoktól  függôen  lehet  katasztrófa,  de  megvalósulhat a
          fajok  közötti  ""béke"  is.  Ez  nem meglepô, hiszen eddigi
          modelljeink (nyúl-róka,  farkas-bárány) hasonlóan  mûködtek,
          s   láttuk,   ha   nem   ügyeltünk   az   adatok   ""helyes"
          megválasztására,   programunk   bizony   hamar   véget   ért
          valamelyik faj kihalása révén, míg ""belôtt"  paraméterekkel
          az  idôk  végezetéig  vizsgálhattuk teremtményeinket. Joggal
          nevezhetô tehát ez a játszma VÅLTOZò kimenetelûnek.

          Látható,  hogy  a  lehetséges  kilenc  játszmát   feltüntetô
          (elôzô    számunkbeli)    táblázat    kimenetelei    valóban
          elôállíthatók. (Legyen az Olvasó ""házi feladata" a  hiányzó
          öt modell  végiggondolása, megalkotása  -- megmutatva,  hogy
          valóban  csak  ez  a  négy  kimenet-típus  adódik.)  Érdemes
          észrevenni,  hogy  a  szabályozó,  stabilitás  felé   mutató
          hatások  --  kontra  (S-)  születés;  konform  (S+) halál --
          közül  az  egyensúly  eléréséhez  elegendô  csak  az   egyik
          jelenléte; közömbös stratégiával párosítva is biztosítják  a
          populáció  állandóságát,  azaz  önmagukban  is szabályoznak.
          Viszont  az  egyensúly  ellen  dolgozó  stratégiák  (konform
          születés,  kontra  halálozás)  hatását  a  semleges  pár nem
          képes ellensúlyozni, a folyamat katasztrófába torkollik.

          Ha végiggondoljuk az élôvilág  fôbb jellemzôit -- például  a
          fantasztikus   fajgazdagságot,   a   viszonylagos    idôbeli
          állandóságot, s egyben a fajok változását az evolúció  során
          -- akkor láthatjuk, hogy csak az S+/S+ jellegû modell  lehet
          megfelelô  ennek  leírásához.  Hiszen  az  S0/S0   semmiféle
          állandóságot  nem  mutatott;  a  S-/S+  viszont  túl stabil,
          nincs benne  változás; a  S+/S- szelekciója  csak egy fajtát
          tûr  meg,  és  így  tovább.  A  modell finomításához, s jobb
          megértéséhez   tisztáznunk    kell   a    növekedési    ütem
          jelentôségét, hatását az egyensúlyra, a szelekcióra.


                            @VNövekedési modellek@N

          Mindössze  három  esetet   fogunk  tanulmányozni.  Az   elsô
          esetben  a   növekedési  ráta   (az  egységnyi   idô  alatti
          szaporodás mértéke) állandó, azaz

              @KdN/dt = k@N

          E differenciálegyenlet megoldása:

              @KN(t) = k*t@N

          egyszerû   lineáris   függvény,   amely   szép   egyenletes,
          kiegyensúlyozott  szaporodást  takar.  Ezért  nevezik  ezt a
          fajta   növekedést   lineárisnak.   A   második   eset   már
          bonyolultabb,  itt  a  növekedés   üteme  függ  az   egyedek
          számától, azzal egyenesen arányos. Egyenletben:

              @KdN/dt = k*N(t)@N

          A differenciálegyenlet megoldása:

              @KN(t) = N(0)*exp(k*t)@N

          Tehát a népesség létszáma exponenciális ütemben  gyarapodik.
          Ez  az   exponenciális  modell   érvényesül  általában    az
          élôvilágban, melynek oka  az önreprodukció (a  genetikai kód
          csak  mintáról  másolható).  Ekkor  a népesség ""duplázodási
          ideje"  állandó.  De  az  elôzô  számunkban közölt grafikon,
          mely  az   emberiség  számának   alakulását  mutatta,    egy
          másfajta, gyorsabb növekedési ütemet ábrázolt: az  emberiség
          létszáma  egyre  csökkenô  idôk  alatt  kétszerezôdik.  (Itt
          lépnek  be  a  társadalmi  tényezôk:  egészségügyi  ellátás,
          életmód, stb.)  Ez lesz  a harmadik  eset: matematikailag  a
          növekedés sebessége a  meglevô egyedek számának  négyzetével
          arányos, tehát

              @KdN/dt = k*N*N@N

          mely differenciálegyenlet megoldása:

              @KN(t) = N(0) / (1 - N(0)*k*t)@N

          Ez a hiperbolikus növekedési  modell. A három modell  hatása
          jól  összehasonlítható  a  mellékelt  grafikonon  (4.  ábra:
          @Kk@N értéke rendre 1, 0,2, illetve 0,01).

          @@<novgraf.pcx>

          Természetesen ez így csak korlátlan növekedést  feltételezve
          lenne  igaz,   de  sem   világunk,  sem   számítógépünk  nem
          korlátlan.  Számunkra  sokkal  érdekesebbek  a   korlátozott
          növekedési  modellek,  itt  figyelhetô  meg  a  versengés, a
          szelekció. Ezek tanulmányozását szolgálja a következô  játék
          (Marx professzor könyve alapján).


                                 @VStratégia@N

          Játékterünk   újfent   egy   @KNxN@N-es   sakktábla. Két játékos
          felváltva rakosgatja a táblára saját színû (jelû)  gombjait,
          az éppen  kisorsolt mezôre.  A játékosok  három stratégiából
          választhatnak  minden  lépésben,  mely  választást  a   mezô
          sorsolása elôtt kell megejteniök. A lehetséges stratégiák:

          1. ïsnemzés: ha a  sorsolt mezô üres, arra  elhelyezhetô egy
          saját gomb (betû).

          2.  Osztódás:  ha  a  véletlen  mezô  nyolc szomszédja közül
          valamelyiken már van egy  saját gomb, akkor letehetô  ide is
          egy. Ha a mezôn ""ellenfél" lakik, akkor az elpusztul,  azaz
          lecserélendô.

          3.  Közremûködés:   a  kidobott   négyzetre  és   annak  egy
          szomszédjára tehet  gombot a  játékos, ha  a nyolc  szomszéd
          közül  legalább  kettôn  már  a  saját  gombjai  vannak.  Az
          ellenfél megint nem akadály!

          Jól  felismerhetô  a  játék  három  stratégiája és a fentebb
          vázolt  három  növekedési  modell  közti rokonság. A játékot
          természetesen legjobb a géppel játszatni, lehetôség  szerint
          az egyes  fajok alakulását  grafikonon is  követve. Kiválóan
          megfigyelhetô     a      stratégiaváltáskor      bekövetkezô
          ""görbeváltás".  Megállapíthatjuk,  hogy  a  tér korlátozott
          volta   miatt    bekövetkezô   telítôdés    az    összetevôk
          vonatkozásában  változó  képet  mutat  az  egyes  stratégiák
          esetében.

          Lineáris   növekedés   mellett    együttélés   jön    létre,
          kölcsönösen   stabilizálhatják   egymást   a    komponensek.
          Exponenciális   stratégiákat   választva   megfigyelhetô   a
          verseny   megjelenése,   megindul    a   kiválasztódás.    A
          hiperbolikus eset egyfajta  ""minden vagy semmi"  eredményre
          vezet. S  itt van  a döntô  különbség a  két gyors növekedés
          között:  a  hiperbolikus  modell  végleges  szelekciót   hoz
          létre, míg  az exponenciális  megtûri a  különbözô variánsok
          együttélését,  azzal  a  megszorítással,  hogy  a szelekciós
          elôny (a természetben tapasztalhatóhoz hasonlóan) nem  lehet
          túl  nagy.  îgy  tud  létrejönni  a  világban  tapasztalható
          fajgazdagság,     miközban     kiválasztódtak     az    arra
          legalkalmasabbak.  (Folytatjuk.)

          @KBánhegyesi Zoltán@N